Números Interessantes

As diabruras dos números interessantes

Artigo do professor Luiz Barco, em que analisa os números interessantes.

Por Luiz Barco

Dizem os seguidores de Pitágoras que todos os números (inteiros) são interessantes. Para aceitar essa verdade dogmática seria preciso conceituar bem o que é que nos permite denominar um número de interessante.

Mesmo que não cheguemos a um acordo sobre isso, parece aceitável que alguns números sejam, de fato, interessantes. Veja, por exemplo, o número 142 857. Aparentemente é apenas mais número. Mas. quando multiplicado r 1,2,3,4,5 e 6, tem a particularidade de apresentar produtos com os mesmos algarismos e na mesma ordem, como se estivessem escritos num cilindro. Se o multiplicarmos por 1, 3, 2. 6, 4 e 5 teremos:
142 857 x 1 = 142 857:
142 857 x 3 = 428 571 (quando multiplicado por 3 o resultado é um número com os mesmos algarismos, com o 1 passando para o final);
142 857 x 2 = 285 714 (o resultado é um numero com os mesmos algarismos, com o l e o 4 passando para o final);
142 857 x 6 = 857 142 ( vê-se que o 1, o 4 e o 2 passam para o final);
142 857 x 4 = 571 428 (o resultado mostra que 1,4,2 e 8 passam para o final);
142 857 x 5 =714 285 (de novo, um produto com os mesmos algarismos: 1,4,2,8 e 5 vão para o final).

Esses exemplos servem para mostrar que o número 142 857 possui a propriedade de, quando multiplicado por qualquer número de 1 a 6, resultar em outro número com os mesmos algarismos e na mesma ordem cíclica. Vários livros de curiosidades matemáticas têm dado atenção ao 142857. 0 professor Mello e Souza, conhecido pelo nome de Malba Tahan, em seu livro Diabruras da Matemática, já destacava, em 1943, o comportamento desse número quando multiplicado por 7 e por 8:
142 857x7 = 999 999
142 857 x 8 = 1 142 856 (note que os algarismos são os mesmos, à exceção do 7 que se transformou no 1 inicial e no 6 final). Você poderá descobrir mais propriedades interessantes desse número, basta efetuar algumas multiplicações e observar atentamente. Vamos tentar encontrar a representação decimal da fração 1/7 (dividindo o 1 pelo 7) 1/7 = 0,142 857 142857 142857...

Repare que obtivemos uma dízima periódica simples, cujo período é o nosso já conhecido 142 857. Com isso fica fácil prever o que ocorreria com as frações 3/7, 2/7, 6/7, 4/7 e 5/7. Mesmo que você não seja um maníaco por números, não há como não se render ao curioso 142 857. Como ele, existem outros que até causaram certa polêmica, quanto a serem ou não interessantes, como o número 1 729. Conta-se que, certa vez, o matemático inglês G. H. Hardy foi visitar o matemático indiano Ramanujan, que era seu discípulo. Hardy relatou ao indiano que viera num táxi de número 1729, que ele considerava um número sem importância. Ramanujan, então, discordou: "Absolutamente não; 1 729 é um número muito interessante, pois é o menor número que pode ser expresso pela soma de dois cubos de duas maneiras distintas: 93 + 103 = 1 729 ou l3 + 123 = 1 729".