Grandes Números

A magia dos grandes números

por Luiz Barco

Na edição número 1 da Super foi publicado um ensaio fotográfico curioso: “Potências de Dez, uma viagem do desconhecido muito distante até o desconhecido muito próximo”. Um deslocamento da ordem dos 1010 metros a 10-5 metro. Isto é, do começo ao fim é realizada uma divisão por 1015. Esse é um número que se escreve com o 1 seguido de 15 zeros: 1 000 000 000 000 000. O nome desse paquiderme numérico é 1 quatrilhão.
Eu queria chamar a atenção de todos para o fato de que números dessa ordem inimaginável estão bem mais próximos de nós do que pensamos. Às vezes, estão dentro de nós. O referido ensaio fotográfico, por exemplo, termina com uma bela imagem de uma celula do corpo humano. Vamos então prosseguir nessa viagem observando agora um glóbulo vermelho do sangue, que tem diâmetro de 7 micra, ou 0,007 milímetro. Uma gota de sangue que mede 1 milímetro cúbico apresenta, quando observada ao microscópio, 5 milhões de glóbulos vermelhos.
Um adulto possui de 5 a 6 litros de sangue, ou seja, de 5 milhões a 6 milhões de milímetros cúbicos, que vão dar 25 trilhões de glóbulos vermelhos. Colocados lado a lado, em seu infinitesimal 0,007 milímetro de diâmetro, esses glóbulos vermelhos de uma pessoa formariam uma linha de mais de 160 mil quilômetros, capaz de dar 4 vezes a volta na Terra. Através de sua superfície, esses glóbulos vermelhos absorvem e espalham oxigênio. Por serem tão pequenos, vão a toda parte do corpo; e por serem tão numerosos cobrem uma área muito, mas muito maior que esse mesmo corpo.
Muitas histórias envolvem números gigantes. Lembro de uma: na cidade de Benares, na Índia, há um templo no qual o deus Brahma, ao criar o mundo, fincou 3 estacas de diamantes no solo. Em uma delas, colocou 64 anéis de ouro, ficando os de maior diâmetro embaixo, e os menores em cima, segundo a ordem de tamanho. Os sacerdotes do templo, trabalhando incessantemente noite e dia, devem passar todos os anéis da 1ª haste para a 2ª, usando a 3ª como auxiliar, e seguindo estas regras:
1 - mudar um anel de cada vez;
2 - nunca colocar um anel maior sobre um menor.

O fim do mundo

Diz a lenda que, quando os 64 anéis tiverem trocado de haste, o templo vai ruir e o mundo se acabará. A lenda pode parecer insensata, pois ao que se saiba o mundo não acabou. Vejamos por quê.
Se a torre tivesse apenas 1 anel, precisaríamos de 1 passagem para trocá-lo de haste; se tivesse 2 anéis, precisaríamos de 3 passagens. Fácil, não? Mas os 64 anéis exigiriam nada menos que 264 -1 passagens. Se os sacerdotes fizerem uma passagem por segundo, conseguirão completar 3 600 por hora. Serão 86 400 por dia, perto de 32 milhões por ano. E levarão algo em torno de 5,8 bilhões de séculos para completar a tarefa que Brahma lhes passou. Podemos estar tranqüilos que o mundo não acaba tão cedo.

Além da imaginação

Poucos dos números usados superam 10100, ou 1 seguido de 100 zeros, que foi batizado googol por um garoto de 9 anos, sobrinho do matemático americano Edward Kasner. Se o googol parece muito grande, imagine então o googolplexo, que é o 1 seguido de googol zeros. São de tirar o fôlego, não. Mas o googolplexo, o googol, o 264 –1 e o 5 têm algo em comum e familiar: todos são números finitos.
Contar até o googol ou até 10 é parte do mesmo processo. Mas contar a totalidade dos números naturais é outro problema, pois é preciso compreender que muito grande e infinito são conceitos inteiramente diferentes. Pense um número muito, muito, muito, mas muito grande: esteja certo, ele não estará mais perto do infinito do que o 1. Mas essa é outra história.