Razão e Proporção

Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

v_média = distância percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

v_média = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

  Agora resolva.

11)    Em uma viagem de 400 km, um ônibus percorreu 250 km. Calcule a razão correspondente ao restante do trajeto que o ônibus deverá percorrer.

22)    Um carro percorre uma determinada distância com velocidade média de 120 km/h, com um tempo de10800 s. Qual foi a distância percorrida?

33)    Um avião com velocidade média de 400 km/h, percorre uma distância de 50000000 cm. Qual foi o tempo gasto na viagem?

Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km²

Isto significa que para cada 1 Km² existem aproximadamente 60 habitantes.

1 -  Calcule a densidade demográfica de Tanguá, sabendo que a área territorial é 146 Km², e a população é   30.700 habitantes (CENSO 2010).

 2 - Calcule a densidade demográfica de Rio Bonito, sabendo que sua área territorial é 462 km² e a população é 55.500 habitantes (CENSO 2010).

 3 -    Qual é a cidade mais densamente povoada:  Tanguá ou Rio Bonito?

                                                     Proporção

A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de proporções a seguir:

                       é uma proporção, pois 10:20 = 3:6

                           

                       é uma proporção, pois 9:12 = 3:4

As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação denominada multiplicação cruzada.

9 x 4 = 12 x 3
    36 = 36

Multiplicação cruzada

4 x 15 = 6 x 10
      60 = 60

As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema envolvendo informações comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com base nos três valores estabelecidos pelo problema. Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância do estudo das proporções.

Exemplo 1
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?

Estabelecemos a seguinte relação:
600 -------------- 100
x -------------- 25

Podem ser feitos 150 pães.

01)    Em uma loja são vendidos 8 m de um tecido a R$ 156,00. Qual o preço de 12 m  do mesmo tecido nessa loja?

02)   Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

03)   Uma torneira gotejando desperdiça 92 litros de água em dois dias. Em trinta dias, quantos litros de água serão desperdiçados por essa torneira?

04)   Com R$ 2,00 é possível comprar seis pães. Qual o valor a ser pago por 15 desses pães?

05)   Sabendo que os números 6, 24, 5 e X formam, nessa ordem, uma proporção, determine o valor de X

                                                          

                                          Porcentagem

1. Represente as frações abaixo na forma percentual.

a) 7/10.

b) 1/5.

c) 3/20.

d) 3/4.

e) 1/8.

 

2. Calcule:

a) 30% de 1500.

b) 12% de 120.

c) 27% de 900.

d) 55% de 300.

e) 98% de 450.

3. Sabendo que 45% de um número equivalem a 36, determine esse número.

 

4. Em uma turma de 40 alunos, 45% são meninos. Quantos meninos e meninas tem a turma?

 

5. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 milhões de pessoas com 10 anos ou mais que eram alfabetizadas, o que correspondia a 91% da população nessa faixa etária. Determine o número de brasileiros com 10 anos ou mais em 2010.

                               Média Aritmética e Média Aritmética Ponderada

Média Aritmética

Média aritmética de dois ou mais valores é o quociente da soma desses valores pelo número deles

Exemplos :

Calcular a média aritmética entre os valores 9,12 e18.

Solução:

M.A. = ( 9 + 12 + 18 ) : 3

39 : 3 = 13

Resposta: A média aritmética é 13

EXERCÍCIOS

1) Calcule a média aritmética dos seguintes números:

a) 7 e 15 = (R: 11)

b) 10,2 e 9 = (R: 7)

c) 4,7,15,9 e 10 = (R: 9)

d) 42,18,56 e 34 = (R: 37,5)

2) Calcule a média aritmética dos seguintes números:

a) 0,4; 3,2 6 0,6 = (R: 1,4)

b) 1/4 e 1/2 = (R: 3/8)

c) 2/3 e 4/5 = (R: 11/15)

3) Num campeonato, um time de basquete faz a seguinte campanha:

-------Partidas--------------------Número de pontos

---------1--------------------------------74

---------2-------------------------------101

---------3--------------------------------68

---------4--------------------------------97

---------5--------------------------------86

---------6-------------------------------120

Qual a média aritmética de pontos por partida? (R: 91)

Média Aritmética Ponderada

Média aritmética ponderada de dois números ou mais números é o quociente da soma dos produtos desses números pela soma dos respectivos pesos.

Exemplos:

Calcular a média aritmética ponderada dos números 5,7,e 8 com pesos 2,3,e 5 respectivamente.

Solução:

M.P.= (5.2 +7.3 + 8.5) : (2 + 3 + 5)

= 71 /10 = 7,1

Resposta: A média aritmética ponderada é 7,1.

EXERCÍCIOS

1) Calcule a média artimética ponderada dos números 6,7,5,e 8 com peso 2,2,3 e 3 , respectivamente.

(R: 6,5)

,

2) Um copo de groselha custa R$ 2,50 e m copo de leite custa R$ 1,00 misturando-se 20 copos de groselha e 30 copos de leite, qual o preço do copo dessa mistura? (R: 1,60)

3) Um quilograma de café tipo A custa R$ 12,00 e um quilograma de café tipo B custa R$ 15,00 misturando-se 4 kg de café tipo A com 8 kg de café tipo B obtemos um terceiro tipo de café. quanto vale o quilograma de café dessa mistura? (R: R$ 14,00)

4) Numa feira, a cebola estava sendo vendida assim:

6 quilos : R$ 5,00 cada quilograma.

10 quilos : R$ 4,00 cada quilograma

24 quilos : R$ 3,00 cada quilograma

Qual  o preço médio do quilo da cebola? (R: 3,55)

Revisão - Números Inteiros

                                            Revisão - Números Inteiros



Somando inteiros positivos 


Adicionar dois números inteiros positivos é o mesmo que adicionar dois números naturais; é efetuar a adição que você já conhecia.

Ex: (+120) + (+95) = 120 + 95 = +215 ou 215


Somando inteiros negativos  


Para adicionar números negativos, adicionamos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal negativo.

Ex: (-12) + (-16) = -12 - 16 = - 28                



Somando inteiros de sinais contrários


Para adicionarmos um número positivo a um número negativo, subtraímos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. Caso sejam opostos, a soma é zero.


Ex: (+50) + (- 40) = 50 - 40 = 10

      (+50) + (- 70) = 50 - 70 = - 20


* Elimine os parênteses e calcule:

a) (+28) + (+17) = 

b) (-19) + (-11) =

c) (+30) + (-13) =

d) (+22) + (-50) =


* Calcule:

a) 45 - 35 - 25 - 15 = 

b) - 35 + 15 - 25 + 5=

c) - 5 + 25 - 35 + 15 = 

d) 5 - 35 + 15 - 45 =


Respostas:

1) a) 45
    b) - 30
    c) 17
    d) - 28


2) a) - 30
    b) - 40
    c) 0
    d) - 60  




Subtraindo dois números inteiros



A diferença entre dois números inteiros é igual à soma do primeiro com o oposto do segundo.

Ex:  (+6) - (- 8) = 6 + 8 = 14

       ( - 2) - (- 5) = 2 + 5 = 7

       (- 2) - (+4) = 2 - 4 = - 2



* Qual a diferença?

a) (+6) - (-3) =

b) (+4) - (- 9) =

c) (+10) - (+ 3) = 

d) (+8) - (+9) = 


Respostas:

a) 9
b) 13
c) 7 
d) - 1 



Multiplicação



Multiplicamos os números e o sinal será:

* Se temos somente sinais positivos o resultado será positivo.

Ex: (+3) . (+9) = + 27


* Se temos sinais negativos e a quantidade desses sinais for ímpar o resultado será negativo.


* Se temos sinais negativos e a quantidade desses sinais for par o resultado será positivo.


Ex: (-3) . (-5) . (-3) = - 45 ( quantidade de sinais negativos ímpar (3))

      (-2) . (+1) . (+2) . (-5) = + 20 (quantidade de sinais negativos par (2))





Divisão 


As regras de sinais são as mesmas da multiplicação, porém dividimos os números.


Ex: (+56) : (+7) = + 8

     ( -60) : (-1) = + 60

     (+32) : (-16) = - 2

        ( -5) : (+5) = - 1




* Calcule:

a) 10 : 5 - 4 =

b) - 3 + 12 : 4 =

c) - 2 + 3 . 5 - 12 : 6 = 

d) (- 16) : 4 . (-4) =

e) 4 . 8 : (- 2) = 

f) 25 : (-5) + 3 . 2 =




Respostas:

a) - 2

b) 0

c) 11

d) 16

e) - 16

f) 1 




Potenciação



No 6º ano, estudamos que:

* 7² = 7 x 7 = 49

* 7³ = 7 x 7 x 7 = 343

Um produto de fatores iguais é uma potência. 

Na potenciação:


* A base é o fator que se repete;

* O expoente é o número de vezes que repetimos a base.

7²  - o 7 é a base e o 2 é o expoente, então multiplicamos o 7 por ele mesmo 2 vezes.

A base da potência pode ser um número inteiro qualquer, positivo, negativo ou zero. Para calcular a potência, fazemos multiplicações.


Ex: (+8)³ = (+8) . (+8) . (+8) = 512

      0² = 0

      (-5)² = (-5) . (-5) = 25

Recorde:

5¹  = 5 ( quando o expoente é 1, a potência é igual a base)

5º = 1 ( quando o expoente é 0 e a base não nula, a potência é igual a 1)


Obs: base não nula é uma base diferente de zero


Expoente par, resultado positivo

Expoente ímpar, repete o sinal da base

São as regras da multiplicação



Atenção:

(-2)² = 4    e     - 2² = - 4 




* Agora, resolva estas expressões:

a) 4 . (-3)² + 2º = 

b) 3 . (-5)² - (-5)¹ + 7 . (-5)º = 

c) 2 . (-1)³ + 4 . (-2)² - 3 . (-2)¹ - 8 . (-2)º =



Respostas:

a) 37

b) 87

c) 12



                            Curiosidade

Em 1786, o matemático Georg Lichtenberg (1742-1799) estudou quais retângulos seriam boas folhas de papel.

Aquele que quando dobrado ao meio mantém a mesma proporção dos lados pareceu o mais vantajoso. 

Nasceram assim, as folhas A3 e A4. Vale ainda que a folha A3 dobrada ao meio dá duas folhas A4.
                                                                

                                                                                                    Toda a Matemática

                                           Revisão sobre Números Inteiros

                                                                  7º Ano/ 6ª Série




01) Efetuando-se as operações indicadas na expressão [ (-3)³ . ( -2)²] : ( +6)², obtém-se:

a) -6          b) -3        c) 3        d) 6


02) Assinale a alternativa correta:

a) (-15) : (-3) = -5
b) (-2)5 = - 32
c) a raiz quadrada de - 4 = -2
d) (-3).(-4).(-5) = +60
e) (+2)³ = -8


03) Qual o valor das potências?

a) (-4)⁵ = 
b) - 4⁵ = 
c) (-3)⁴ - (-3)⁴ = 
d) (-12)² - (+10)²  = 
e) (+3)² - (-2)⁵ + (-4)³ = 


04) Escreva cada expressão em linguagem matemática e dê o seu valor:

a) Raiz quadrada de quarenta e nove - ___________________
b) O cubo de menos cinco - ___________________________
c) Raiz quadrada de menos vinte e cinco - _________________
d) o oposto da raiz quadrada de nove - ____________________
e) O módulo da quinta potência de menos dois - _____________



05) Determine o valor de cada expressão a seguir:

a) 4 - [2² . (-3) - (-3)² . (-2)] - 60 : [(-2)² . 5 - 2³] = 

b) 40 : (-1)⁵ + (-2)³ - 12 = 

c) - 4² + (3 - 5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ = 

Revisão - Operações com números Inteiros

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Início do ano de 2014


Revisão 7º ano

Números Inteiros

1) Escreva números positivos ou negativos  para representar as situações a seguir:

a) Lucro de R$ 3 000,00._____________

b) Ano 235 a.C._____________

c) Profundidade de 2 000 metros._____________

d) Crédito de R$ 350,00._____________

e) Prejuízo de R$ 140,00._____________

f) Altitude de 2 360 metros._____________

g) Temperatura de 34° C acima de zero._____________

h) Débito de R$ 530,00._____________

i) Ano 1984 d.C._____________

j) 9 gols marcados em um campeonato._____________

k) Temperatura de 5° C abaixo de zero._____________

l) 3 gols sofridos em um campeonato._____________

2) Complete as sentenças com V (verdadeiro) ou F (falsa):

a) (   ) Todo número natural é inteiro.

b) (   ) Todo número inteiro é natural.

c) (   ) O número 9 é natural e inteiro.

d) (   ) O número -7 é natural e inteiro.

c) (   ) O número -15 é inteiro e não natural.

3) Considerando o conjunto dos números inteiros, responda:

a) Qual é o antecessor de 58?______

b) Qual é o sucessor de 23?______

c) Qual é o antecessor de -7?______

d) Qual é o sucessor de -15?______

4) Complete os espaços com os símbolos > (maior) ou < (menor).

a) 45_____78

b) 0_____37

c) 0_____-21

d) 58_____-42

e) -67_____-39

5) (Vunesp - SP) Um camelô fez 4 vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 4,00, na segunda teve prejuízo de R$ 11,00, na terceira teve lucro de R$ 13,00 e na última teve lucro de R$ 5,00. No final desses quatro negócios, o camelô teve lucro ou prejuízo? De Quanto?

6) Um supermercado apresentou seus resultados financeiros (lucros e prejuízos) no ano:

Setor	Resultado (em milhares de reais)
Alimentação	500
Brinquedos	-200
Confecções	300
Eletrodomésticos	-100
Utilidades	400

No total, a empresa teve lucro ou prejuízo? De quanto?

Respostas

1)

a) +R$ 3 000,00

b) -235

c) -2 000 metros

d) + R$ 350,00

e) - R$ 140,00

f) + 2 360

g) + 34° C

h) - R$ 530,00

i) +1984

j) +9

k) -5° C

l) -3

2)

a)  (V)

b)  (F)

c)  (V)

d)  (F)

e)  (V)

3)

a) 57

b) 24

c) -8

d) -14

4)

a) 45  <  78

b)   0  <  37

c)   0  > -21

d) 58  > -42

e)-67  <  -39

5)

           Cálculo                                                      

-4 - 11 + 13 + 5 = +3                                  No Final, o camelô teve 

                                                                          lucro de R$ 3,00.

6)

           Cálculo                                                        Resposta

500 + 300 + 400 = 1 200                          No total, a empresa 

-200 - 100 = -300                                    teve lucro de R$ 900,00.

1 200 - 300 = 900